ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรเป็นปัญหาสำคัญทางทอพอโลยี ซึ่งศึกษาสมานสัณฐาน (Homeomorphism) กล่าวคือ ความสามารถในการยืดหดของพื้นผิว (Manifold) ต่าง ๆ ระหว่างคุณสมบัติที่ห่วง (Loop) บนพื้นผิวนั้นสามารถหดลงจนกลายเป็นจุด (Simply connected) กับความสามารถในการยืดหดพื้นผิวให้กลายเป็นทรงกลมได้ ในโลก 3 มิติ อองรี ปวงกาเร พิสูจน์ได้ว่า พื้นผิวสอง มิติปิด (Closed) ที่ห่วงบนพื้นผิวนั้นสามารถหดลงจนกลายเป็นจุดได้ จะยืดหดพื้นผิวเป็นผิวทรงกลมได้เสมอ

ข้อคาดการณ์ของปวงกาเรตั้งข้อสงสัยว่าในโลก 4 มิติ พื้นผิว 3 มิติใด ๆ ที่ห่วงบนพื้นผิวสามารถหดลงจนกลายเป็นจุด จะยืดหดพื้นผิวเป็นทรงกลมผิว 3 มิติได้หรือไม่ ? ทั้งนี้พื้นผิว 4 มิติได้รับการพิสูจน์ว่าจริงในปี ค.ศ. 1961 โดย Stephen Smale และพื้นผิวที่มากกว่า 4 มิติขึ้นไปได้รับการพิสูจน์ว่าจริง Michael Freedman ในปีค.ศ. 1982 แต่พื้นผิว 3 มิติ กลับเป็นปัญหาเดียวที่ยังพิสูจน์ไม่ได้จนถึงค.ศ. 2000

จนในที่สุด ในปีค.ศ. 2003 กริกอรี เพเรลมานได้ตีพิมพ์บทพิสูจน์ข้อคาดการณ์ของปวงกาเร บทพิสูจน์ได้รับการตรวจสอบเสร็จในปีค.ศ. 2006 เพเรลมานได้รับการคัดเลือกให้ได้รับรางวัลฟิลด์มีเดิล แต่เพเรลเมนปฏิเสธรางวัลดังกล่าว [3] สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ได้ประกาศให้รางวัลมิลเลเนียมในวันที่ 18 มีนาคม 2010 [4] แต่เพเรลมานก็ปฏิเสธเช่นกัน โดยไม่ได้ให้เหตุผลกับทางสถาบัน [5][6] อย่างไรก็ดี เขาได้อธิบายว่านี่เป็นงานของชุมชนคณิตศาสตร์ และความสำเร็จนี้ก็เป็นของนักคณิตศาสตร์ทั้งปวง[7] การให้รางวัลนี้จึงไม่ยุติธรรม เพราะความสำเร็จในการพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรของเขานั้น ไม่ได้ยิ่งใหญ่ไปกว่าคุณูปการของ Richard Hamilton ผู้เสนอแนวคิดที่เพเรลมานนำมาต่อยอดเพื่อพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร เลย

การพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร ทำให้ข้อความที่ว่า พื้นผิวที่ห่วงบนพื้นผิวนั้นสามารถหดลงจนกลายเป็นจุด (Simply connected) จะสามารถยืดหดพื้นผิวให้กลายเป็นทรงกลมได้ เป็นจริงในทุกมิติ ทำให้ใช้วิธีนี้เป็นวิธีทดสอบพื้นฐานทางทอพอโลยี ทั้งทอพอโลยีแบบดั้งเดิม และทอพอโลยีขั้นสูงอีกด้วย

ปัญหานี้ถูกตั้งข้อสงสัยครั้งแรกโดย อองรี ปวงกาเร และถูกเสนออย่างเป็นทางการโดย John Milnor